历史上杜甫与李白的关系到底怎么样？

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开元十九年(731年)，十九岁的杜甫出游郇瑕(今山西临猗)。
二十岁时，杜甫漫游吴越，历时数年。开元二十三年(735年)，杜甫回故乡参加“乡贡”。开元二十四年(736年)，杜甫在洛阳参加进士考试，结果落第。杜甫的父亲时任兖州司马一职，杜甫于是赴兖州省亲，与苏源明等一起，到齐赵平原，作第二次漫游。
大概这时他父亲正在兖州做司马，他在齐赵一带过了四五年“裘马轻狂”的“快意”生活，也留下了现存最早的几首诗：《登兖州城楼》，是省侍父亲于兖州时的作品;还有《画鹰》、《房兵曹胡马》两首，以青年人的热情歌颂了雄鹰和骏马;还有一首《望岳》，更是其中的杰作，结尾的两句是流传千古的名句：“会当凌绝顶，一览众山小”，流露了诗人少年时代不平凡的抱负。
天宝三载(744年)四月，杜甫在洛阳与被唐玄宗赐金放还的李白相遇，两人相约同游梁、宋(今河南开封、商丘一带)。会见了诗人高适，这是第三次漫游。之后，杜甫又到齐州(今山东济南)。
天宝四载(745年)，他在齐鲁又与李白相见，在饮酒赋诗之外，又讨论了炼丹求仙，而且共同访问了兖州城北的隐士范野人。两人还互赠了诗篇。杜赠李的诗说：“余亦东蒙客，怜君如弟兄。醉眠秋共被，携手日同行。”李赠杜的诗说：“秋波落泗水，海色明徂徕。飞蓬各自远，且尽手中杯!”两人从此以后就再也没有见面。